Να θυμηθούμε λίγο Ευκλείδεια γεωμετρία …ορθογώνιο τρίγωνο A B Γ, τετράγωνα των πλευρών…
Tο άθροισμα των τετραγώνων των δύο κάθετων πλευρών ισούται με το τετράγωνο της υποτείνουσας.
γ ² + β ² = α ²  με την A ορθή: O Ευκλείδης στο πρώτο βιβλίο των Στοιχείων Γεωμετρίας του (47^η πρόταση) δίνει την εξής διατύπωση:«ἐν τοῖς ὀρθογωνίοις τριγώνοις τὸ ἀπὸ τῆς τὴν ὀρθὴν γωνίαν ὑποτεινούσης πλευρᾶς τετράγωνον ἴσον ἐστὶ τοῖς ἀπὸ τῶν τὴν ὀρθὴν γωνίαν περιεχουσῶν πλευρῶν τετραγώνοις.».

Δηλαδή: “το τετράγωνο της υποτείνουσας ενός ορθογώνιου τριγώνου ισούται με το άθροισμα των τετραγώνων των δύο καθέτων πλευρών”. Στο ίδιο βιβλίο, ο Ευκλείδης παραθέτει τη σχετική απόδειξη που κατά παράδοση οφείλεται στον Πυθαγόρα, ο οποίος κατ’ άλλη, επίσης αρχαία, παράδοση, μετά την ανακάλυψή του αυτή θυσίασε προς τους θεούς εκατόμβη, γι’ αυτό και το θεώρημα αυτό ονομάσθηκε “Εκατόμβη” ή “Θεώρημα εκατόμβης”.
Αν και το θεώρημα σήμερα φέρει το όνομα του διεθνούς Έλληνα μαθηματικού (570-495 π.Χ.), από ιστορικές έρευνες φαίνεται ότι είχε διατυπωθεί και νωρίτερα (ως εμπειρική παρατήρηση). Υπάρχουν αποδείξεις ότι Βαβυλώνιοι μαθηματικοί είχαν κατανοήσει τον τρόπο λειτουργίας του θεωρήματος, αν και δεν υπάρχει σχεδόν καμία απόδειξη ότι το χρησιμοποίησαν σε μαθηματικά πλαίσια. Μαθηματικοί από τη Μεσοποταμία, την Ινδία και την Κίνα είναι επίσης γνωστοί για το ότι είχαν ανακαλύψει το αποτέλεσμα του θεωρήματος αποδεικνύοντας το επιπλέον, σε συγκεκριμένες περιπτώσεις.

Ο Πυθαγόρας ήταν σίγουρα ένας τρομερά έξυπνος άνθρωπος, που αν και είχε κάποιες περίεργες απόψεις για τα φασόλια, ήξερε σίγουρα από γεωμετρία. Αυτό φυσικά θα το γνωρίζατε, από το γυμνάσιο, όπου μάθαμε το Πυθαγόρειο Θεώρημα. Όμως ήταν ο Πυθαγόρας που το ανακάλυψε πρώτος; Από ότι φαίνεται, οι Βαβυλώνιοι βρήκαν την σχέση τις υποτείνουσας με τις δύο κάθετες πλευρές ενός ορθογώνιου τριγώνου, αρκετά νωρίτερα και μάλιστα με σημαντική διαφορά.
«Οποιοδήποτε βιβλίο ιστορίας θα σας πει ότι η τριγωνομετρία πηγαίνει πίσω στους αρχαίους Έλληνες αστρονόμους», είπε ο ερευνητής αρχαίων μαθηματικών Δρ Ντάνιελ Μάνσφιλντ. «Μου αρέσει να σκέφτομαι τη Βαβυλωνιακή κατανόηση ως ένα απροσδόκητο prequel».
Τα στοιχεία ήρθαν με την μορφή ενός πήλινου δίσκου, με το όνομα IM 67118, στον οποίο βλέπουμε τη χρήση του Πυθαγόρειου Θεωρήματος, για να βρει το μήκος μιας διαγωνίου μέσα σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο. Η πλάκα πιθανότατα χρησιμοποιήθηκε για διδασκαλία και χρονολογείται στην Παλαιοβαβυλωνιακή περίοδο μεταξύ 1900-1600 π.Χ. – αιώνες πριν γεννηθεί ο Πυθαγόρας, περίπου το 570 π.Χ.

Μια άλλη ταμπλέτα από περίπου 1800-1600 π.Χ. έχει ένα τετράγωνο με επισημασμένα τρίγωνα μέσα. Η μετάφραση των σημάνσεων από τη βάση 60 – το σύστημα μέτρησης που χρησιμοποιούσαν οι αρχαίοι Βαβυλώνιοι – έδειξε ότι αυτοί οι αρχαίοι μαθηματικοί γνώριζαν το Πυθαγόρειο θεώρημα (δεν λεγόταν έτσι φυσικά) καθώς και άλλες προηγμένες μαθηματικές έννοιες.
«Το συμπέρασμα είναι αναπόφευκτο. Οι Βαβυλώνιοι γνώριζαν τη σχέση μεταξύ του μήκους της διαγώνιου ενός τετραγώνου και της πλευράς του: d=τετραγωνική ρίζα του 2», γράφει ο μαθηματικός Bruce Ratner σε μια μελέτη σχετικά με το θέμα. «Αυτός ήταν πιθανώς ο πρώτος αριθμός που ήταν γνωστός ότι είναι παράλογος. Ωστόσο, αυτό με τη σειρά του σημαίνει ότι ήταν εξοικειωμένοι με το Πυθαγόρειο Θεώρημα – ή, τουλάχιστον, με την ειδική περίπτωση του για τη διαγώνιο ενός τετραγώνου (d ²  = a ²  + a ²  = 2a ² ) – περισσότερα από χίλια χρόνια πριν από τον μεγάλο σοφό από τον οποίο ονομάστηκε.»

Επιλεγμένο

Επιλεκτικότητες

Ενα πολυτελές κότερο φορτωμένο με μεγάλα ονόματα του διεθνούς jet set ναυάγησε ανοιχτά της Σικελίας. Εκτοτε, τα ΜΜΕ φροντίζουν να μας ενημερώνουν αναλυτικά για κάθε…

Αν όμως δεν βρέθηκε η εξίσωση από τον Πυθαγόρα, γιατί πήρε το όνομά του; Πόσο μάλλον όταν κανένα από τα γραπτά του δε σώζεται μέχρι σήμερα. Σύμφωνα με τον Ράτνερ, η εξίσωση πιθανότατα άνηκε στου Πυθαγόρειους, τα μέλη της σχολής που ίδρυσε ο Πυθαγόρας στην Σάμο και στην σημερινή νότια Ιταλία.
«Ένας λόγος για τη σπανιότητα των αρχικών πηγών του Πυθαγόρα ήταν ότι η πυθαγόρεια γνώση μεταβιβάστηκε από τη μια γενιά στην άλλη από στόμα σε στόμα, καθώς το υλικό γραφής ήταν σπάνιο», γράφει ο Ράτνερ. «Επιπλέον, από σεβασμό προς τον αρχηγό τους, πολλές από τις ανακαλύψεις που έκαναν οι Πυθαγόρειοι αποδόθηκαν στον ίδιο τον Πυθαγόρα· αυτό θα εξηγούσε τον όρο «Θεώρημα του Πυθαγόρα». Όπως και να έχει, ο Πυθαγόρας παραμένει μια τεράστια προσωπικότητα της ανθρώπινης ιστορίας και αυτό δε μπορεί να το αλλάξει τίποτα.

Δείτε μελέτη Springer.

Το θεώρημα έχει μεγάλο αριθμό αποδείξεων, πιθανότατα μεγαλύτερο από κάθε άλλο μαθηματικό θεώρημα. Οι αποδείξεις είναι ευθείες και το σύνολο τους συμπεριλαμβάνει τόσο γεωμετρικές όσο και αλγεβρικές αποδείξεις, κάποιες από της οποίες χρονολογούνται αρκετές χιλιετίες πριν. Το θεώρημα μπορεί να γενικευτεί με πολλούς τρόπους, σε χώρους μεγαλύτερης διάστασης, σε μη ευκλείδειους χώρους, σε μη ορθογώνια τρίγωνα ή ακόμα και σε ν-διάστατα στερεά (αυτά ψιλά γράμματα για τον πολύ κόσμο)
Και το αντίστροφο Πυθαγόρειο Θεώρημα; ότι δηλαδή, αν ισχύει η παραπάνω σχέση μεταξύ των πλευρών ενός τριγώνου, τότε το τρίγωνο είναι ορθογώνιο; ΝΑΙ!

Η ιστορία του μπορεί να διαιρεθεί σε τέσσερα μέρη: ανακάλυψη των πυθαγόρειων τριάδων, ανακάλυψη της σχέσης μεταξύ των πλευρών ενός ορθογωνίου τριγώνου, ανακάλυψη των σχέσεων μεταξύ ομοίων τριγώνων και αποδείξεις του θεωρήματος στα πλαίσια κάποιου επαγωγικού συστήματος.

Ο Bartel Leendert van der Waerden (Ολλανδός μαθηματικός και ιστορικός των μαθηματικών _1903–1996) υπέθεσε ότι πυθαγόρειες τριάδες ανακαλύφθηκαν αλγεβρικά από τους Βαβυλώνιους. Γραμμένος μεταξύ του 200 και του 1786 π.Χ., την περίοδο του Μέσου Βασιλείου της Αιγύπτου, ο αιγυπτιακός πάπυρος του Βερολίνου 6619 συμπεριλαμβάνει ένα πρόβλημα του οποίου η λύση είναι η πυθαγόρεια τριάδα 6,8,10, στο οποίο όμως δεν γίνεται αναφορά σε ορθογώνιο τρίγωνο. (σσ. πάπυρος από το Μέσο βασίλειο, που βρέθηκε στη αρχαία τοποθεσία ταφής της Σακκάρα στις αρχές του 19^ου αιώνα μ.Χ. _μία από τις κυριότερες πηγές που έχουμε για τα αρχαία αιγυπτιακά μαθηματικά και την ιατρική, μεταξύ των οποίων και η πρώτη γνωστή καταγραφή που αφορά στην διαγνωστική εγκυμοσύνης, κατατάσσοντάς τον έτσι και στους αιγυπτιακούς ιατρικούς παπύρους). Ο πίνακας Plimpton 322, γραμμένος στη Μεσοποταμία μεταξύ του 1790 και του 1750 π.Χ. κατά τη διάρκεια της βασιλείας του Χαμουραμπί, περιέχει πολλές αναφορές σχετικές με πυθαγόρειες τριάδες. Από αιγυπτιακά μεγαλιθικά μνημεία των οποίων οι πλευρές είναι ακέραια πολλαπλάσια, φαίνεται ότι οι ιδιότητες των ορθογωνίων τριγώνων και οι σχέσεις των πλευρών τους, ήταν γνωστές από πολύ παλιά. Στην Ινδία, το βιβλίο Baudhayana Sulba Sutra (οδηγίες για κατασκευή ναών), το οποίο χρονολογείται μεταξύ του 8^ου και του 2^ου αιώνα π.Χ., περιέχει μία λίστα από πυθαγόρειες τριάδες που ανακαλύφθηκαν αλγεβρικά, μία διατύπωση του πυθαγορείου θεωρήματος και μία γεωμετρική απόδειξη του θεωρήματος για ένα ισοσκελές ορθογώνιο τρίγωνο (Το σχοινί που εκτείνεται κατά μήκος της διαγωνίου ενός ορθογωνίου, παράγει επιφάνεια ίδια με αυτή της κάθετης και της οριζόντιας πλευράς). Το Apastamba Sulba Sutra (600 π.Χ.) περιέχει μία γενική αριθμητική απόδειξη του θεωρήματος, χρησιμοποιώντας τον υπολογισμό ενός εμβαδού. Ο Van der Waerden πίστευε ότι σίγουρα βασιζόταν σε παλαιότερες παραδόσεις. Ο Boyer (1991) υποστηρίζει ότι στοιχεία που βρέθηκαν στο Sulba Sutra προέρχονται από λαούς της Μεσοποταμίας (σσ. τα Shulba Sutras αποτελούν μέρος του ευρύτερου συνόλου κειμένων και είναι οι μόνες πηγές γνώσης των ινδικών μαθηματικών από τη Βεδική περίοδο _ 1500-1200 π.Χ. Τα μοναδικά σχήματα Vedi _φωτιά-βωμός) συνδέονταν με μοναδικά δώρα από τους Θεούς)

Με περιεχόμενο γνωστό πολύ νωρίτερα αλλά διασωθέν σε κείμενα που χρονολογούνται τον 1^ο  αιώνα π.Χ., το κινέζικο κείμενο Zhou Bi Suan Jing δίνει μία αιτιολόγηση του πυθαγορείου θεωρήματος για την τριάδα 3,4,5- στην Ινδία είναι γνωστό και ως “θεώρημα Gougu”. Κατά τη διάρκεια της δυναστείας Χαν (202 π.Χ.-220 μ.Χ.), οι πυθαγόρειες τριάδες εμφανίζονται στο “Εννέα κεφάλαια της μαθηματικής τέχνης” μαζί με μία αναφορά σε ορθογώνια τρίγωνα. Πολλοί πιστεύουν ότι το θεώρημα πρώτα ανακαλύφθηκε στην Κίνα, όπου ονομάζεται και Θεώρημα Shang Gao, από το όνομα του αστρονόμου και μαθηματικού δούκα του Zhou, του οποίου το έργο συνιστά το μεγαλύτερο μέρος του Zhou Bi Suan Jing.

Ο Πυθαγόρας χρησιμοποίησε αλγεβρικές μεθόδους για να κατασκευάσει πυθαγόρειες τριάδες, σύμφωνα με το σχολιασμό του Πρόκλου στον Ευκλείδη. Ο Πρόκλος όμως, έγραψε (410 -485 μ.Χ). Σύμφωνα με τον Thomas L. Heath (1861–1940), δεν επιβιώνει καμία συγκεκριμένη απόδοση του θεωρήματος στον Πυθαγόρα στην ελληνική λογοτεχνία τους 5 αιώνες αφότου εκείνος έζησε. Παρ’ όλα αυτά, όταν συγγραφείς όπως ο Ευκλείδης και Κικέρων, το έκαναν με τρόπο που υποδήλωνε ότι το γεγονός ήταν ευρέως γνωστό και αναμφισβήτητο. Είτε το η ανακάλυψη του θεωρήματος αποδίδεται προσωπικά στον Πυθαγόρα είτε όχι, το σίγουρο είναι ότι σε κάθε περίπτωση, η ανακάλυψη του θεωρήματος χρονολογείται την εποχή των πυθαγόρειων μαθηματικών. Γύρω στο 400 π.Χ., σύμφωνα με τον Πρόκλο, ο Πλάτωνας έδωσε μία μέθοδο για την εύρεση πυθαγόρειων τριάδων που συνδυάζει άλγεβρα και γεωμετρία. Γύρω στα 300 π.Χ., στα Στοιχεία του Ευκλείδη παρουσιάζεται η πρώτη εκτενής αξιωματική απόδειξη του θεωρήματος.

Το πυθαγόρειο θεώρημα λοιπόν, ήταν γνωστό πολύ πριν τον Πυθαγόρα, αλλά φαίνεται να είναι αυτός ο πρώτος που κατάφερε να το αποδείξει. Σε κάθε περίπτωση, η απόδειξη που του αποδίδεται είναι πολύ απλή και ονομάζεται απόδειξη με ανακατανομή. Καθένα από τα δύο μεγάλα τετράγωνα της εικόνας περιέχει τέσσερα όμοια τρίγωνα και η μόνη διαφορά τους είναι ότι τα τρίγωνα κατανέμονται διαφορετικά. Για αυτό το λόγο, η λευκή περιοχή των δύο τετραγώνων πρέπει να έχει ίσο εμβαδόν. Ο υπολογισμός των εμβαδών των λευκών περιοχών, οδηγεί στο πυθαγόρεια θεώρημα και αποδεικνύει το ζητούμενο.

Το γεγονός ότι αυτή η πολύ απλή απόδειξη αποδίδεται στον Πυθαγόρα, συχνά αναφέρεται σε συγγράμματα του μεταγενέστερου Έλληνα φιλόσοφου και μαθηματικού, Πρόκλου. Αρκετές ακόμα αποδείξεις του θεωρήματος περιγράφοντα παρακάτω, αλλά αυτή είναι γνωστή σαν πυθαγόρεια απόδειξη.

Η πυθαγόρεια εξίσωση συσχετίζει τις πλευρές ενός ορθογωνίου τριγώνου με απλό τρόπο, έτσι ώστε αν είναι γνωστά τα μήκη δύο πλευρών να μπορεί να υπολογισθεί το μήκος της τρίτης. Μία άλλη συνέπεια του θεωρήματος είναι ότι σε οποιοδήποτε ορθογώνιο τρίγωνο, η υποτείνουσα είναι μεγαλύτερη από κάθε κάθετη πλευρά αλλά μικρότερη από το άθροισμα τους, ενώ με μία γενίκευση έχουμε το νόμο των συνημιτόνων, που επιτρέπει τον υπολογισμό του μήκους κάθε πλευράς σε οποιοδήποτε τρίγωνο, εάν είναι γνωστά τα μήκη των δύο άλλων πλευρών και η γωνία που αυτές σχηματίζουν. Αν η γωνία των δύο αυτών πλευρών είναι ορθή, ο νόμος των συνημιτόνων ταυτίζεται με το πυθαγόρειο θεώρημα.

Το πυθαγόρειο θεώρημα ίσως έχει περισσότερες αποδείξεις από κάθε άλλο (με το θεμελιώδες θεώρημα της άλγεβρας να είναι επίσης υποψήφιο για αυτή τη διάκριση): το βιβλίο Η πυθαγόρεια πρόταση περιέχει 370 αποδείξεις.

Απόδειξη με ομοιότητα τριγώνων: βασίζεται στο γεγονός ότι ο λόγος δύο οποιονδήποτε αντιστοίχων πλευρών ομοίων τριγώνων, είναι σταθερός, ανεξάρτητα από το μέγεθος των τριγώνων. Ο ρόλος αυτής της απόδειξης στην ιστορία είναι ένα θέμα για πολλή σκέψη. Το ερώτημα που προκύπτει είναι γιατί ο Ευκλείδης δεν χρησιμοποίησε αυτήν την απόδειξη, αλλά εφηύρε άλλη. Μία υπόθεση είναι ότι η απόδειξη με όμοια τρίγωνα συμπεριλαμβάνει μία θεωρία αναλογιών, η οποία δεν εμφανίζεται παρά μόνο αργότερα στα

Σε γενικές γραμμές η απόδειξη στα Στοιχεία του Ευκλείδη αναπτύσσεται ως εξής: Το μεγάλο τετράγωνο χωρίζεται σε δύο ορθογώνια παραλληλόγραμμα. Κατασκευάζεται ένα τρίγωνο που έχει το μισό εμβαδόν του αριστερού ορθογωνίου. Στη συνέχεια κατασκευάζεται ένα άλλο τρίγωνο που έχει το μισό εμβαδόν του τετραγώνου πάνω αριστερά. Τα δύο αυτά τρίγωνα συμπίπτουν, αποδεικνύοντας ότι το αριστερό τετράγωνο έχει ίσο εμβαδόν με το αριστερό ορθογώνιο. Ομοίως το δεξί τετράγωνο έχει ίσο εμβαδόν με το δεξί ορθογώνιο. Σχηματίζοντας το αρχικό τετράγωνο στην υποτείνουσα, παρατηρείται ότι το εμβαδόν του ισούται με το άθροισμα των εμβαδών των δύο άλλων τετραγώνων. Ακολουθούν λεπτομέρειες.

Υπάρχουν ακόμη _για την ιστορία Απόδειξη με ανακατανομή, πολλές Αλγεβρικές αποδείξεις κλπ. Μία από τις συνέπειες του πυθαγορείου θεωρήματος είναι ότι ευθύγραμμα τμήματα των οποίων τα μήκη είναι μη μετρήσιμα (όπως οι ρίζες), μπορούν να κατασκευαστούν με χάρακα και διαβήτη. Το θεώρημα του Πυθαγόρα επιτρέπει την κατασκευή μη μετρήσιμων μηκών εξαιτίας του ότι συσχετίζονται τα τετράγωνα της υποτείνουσας και των δύο κάθετων πλευρών.

Μία γενίκευση του Πυθαγορείου θεωρήματος που επεκτείνεται πέρα από τους τομείς των τετραγώνων στις τρεις πλευρές σε παρόμοια στοιχεία έγινε γνωστή από τον Ιπποκράτη της Χίου τον πέμπτο αιώνα π.Χ., και συγκαταλέχθηκε από τον Ευκλείδη στα Στοιχεία, ενώ έχει επικρατήσει στον δημοφιλή πολιτισμό με διάφορους τρόπους.

• Ο Hans Christian Andersen έγραψε το 1831 ένα ποίημα σχετικό με το Πυθαγόρειο θεώρημα: Formens Evige Magie (Et poetisk Spilfægteri).
• Μία εκδοχή του Major-General’s Song στην κωμική όπερα The Pirates of Penzance των Gilbert και Sullivan, “Σχετικά με το διωνυμικό θεώρημα είμαι γεμάτος με πολλές ειδήσεις, με πολλά χαρούμενα γεγονότα σχετικά με το τετράγωνο της υποτείνουσας”, κάνει μία πλάγια αναφορά στο θεώρημα.
• Ο Scarecrow στην ταινία Ο μάγος του Οζ κάνει μία πιο συγκεκριμένη αναφορά στο θεώρημα. Μετά τη λήψη του διπλώματός του από τον Μάγο, επιδεικνύει τις “γνώσεις” του απαγγέλοντας μία εσφαλμένη και παραμορφωμένη εκδοχή του θεωρήματος: “Το άθροισμα των τετραγωνικών ριζών οποιωνδήποτε πλευρών ενός ισοσκελούς τριγώνου είναι ίσο με την τετραγωνική ρίζα της εναπομείνασας πλευράς. Ω,χαρά!Ω,έκσταση! Έχω μυαλό!”.
• Το 2000, στην …Ουγκάντα κυκλοφόρησε ένα νόμισμα με τη μορφή ενός ισοσκελούς ορθογωνίου τριγώνου. Η μία πλαυρά του νομίσματος έχει την εικόνα του Πυθαγόρα και την εξίσωση a²+b²=c², συνοδευόμενα από την αναφορά “χιλιετία του Πυθαγόρα”.
• Στη χώρα μας, αλλά και διεθνώς από την Ιαπωνία, μέχρι το Σαν Μαρίνο, τη Σιέρα Λεόνε και το Σουρινάμ έχουν κυκλοφορήσει γραμματόσημα που απεικονίζουν τον Πυθαγόρα και το Πυθαγόρειο θεώρημα.
• Στου Neal Stephenson τη θεωρητική μυθιστοριματική Anathem, το Πυθαγόρειο θεώρημα αναφέρεται ως “the Adrakhonic theorem”. Μία γεωμετρική απόδειξη του θεωρήματος εκτίθεται στην πλευρά ενός εξωγήινου σκάφους για να προβάλει την κατανόηση των μαθηματικών από τους εξωγήινους.

Για αρχαιομαθείς… “ἐν τοῖς ὀρθογωνίοις τριγώνοις τὸ ἀπὸ τῆς τὴν ὀρθὴν γωνίαν ὑποτεινούσης πλευρᾶς τετράγωνον ἴσον ἐστὶ τοῖς ἀπὸ τῶν τὴν ὀρθὴν γωνίαν περιεχουσῶν πλευρῶν τετραγώνοις. ἔστω τρίγωνον ὀρθογώνιον τὸ ΑΒΓ ὀρθὴν ἔχον τὴν ὑπὸ ΒΑΓ γωνίαν· λέγω, ὅτι τὸ ἀπὸ τῆς ΒΓ τετράγωνον ἴσον ἐστὶ τοῖς ἀπὸ τῶν ΒΑ, ΑΓ τετραγώνοις.
ἀναγεγράφθω γὰρ ἀπὸ μὲν τῆς ΒΓ τετράγωνον τὸ ΒΔΕΓ, ἀπὸ δὲ τῶν ΒΑ, ΑΓ τὰ ΗΒ, ΘΓ, καὶ διὰ τοῦ Α ὁποτέρᾳ τῶν ΒΔ, ΓΕ παράλληλος ἤχθω ἡ ΑΛ· καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΔ, ΖΓ. καὶ ἐπεὶ ὀρθή ἐστιν ἑκατέρα τῶν ὑπὸ ΒΑΓ, ΒΑΗ γωνιῶν, πρὸς δή τινι εὐθείᾳ τῇ ΒΑ καὶ τῷ πρὸς αὐτῇ σημείῳ τῷ Α δύο εὐθεῖαι αἱ ΑΓ, ΑΗ μὴ ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη κείμεναι τὰς ἐφεξῆς γωνίας δυσὶν ὀρθαῖς ἴσας ποιοῦσιν· ἐπ᾽ εὐθείας ἄρα ἐστὶν ἡ ΓΑ τῇ ΑΗ. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἡ ΒΑ τῇ ΑΘ ἐστιν ἐπ᾽ εὐθείας. καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΔΒΓ γωνία τῇ ὑπὸ ΖΒΑ —ὀρθὴ γὰρ ἑκατέρα— κοινὴ προσκείσθω ἡ ὑπὸ ΑΒΓ· ὅλη ἄρα ἡ ὑπὸ ΔΒΑ ὅλῃ τῇ ὑπὸ ΖΒΓ ἐστιν ἴση. καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ μὲν ΔΒ τῇ ΒΓ, ἡ δὲ ΖΒ τῇ ΒΑ, δύο δὴ αἱ ΔΒ, ΒΑ δύο ταῖς ΖΒ, ΒΓ ἴσαι εἰσὶν ἑκατέρα ἑκατέρᾳ· καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΔΒΑ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΖΒΓ ἴση· βάσις ἄρα ἡ ΑΔ βάσει τῇ ΖΓ {ἐστιν} ἴση, καὶ τὸ ΑΒΔ τρίγωνον τῷ ΖΒΓ τριγώνῳ ἐστὶν ἴσον· καὶ {ἐστι} τοῦ μὲν ΑΒΔ τριγώνου διπλάσιον τὸ ΒΛ παραλληλόγραμμον· βάσιν τε γὰρ τὴν αὐτὴν ἔχουσι τὴν ΒΔ καὶ ἐν ταῖς αὐταῖς εἰσι παραλλήλοις ταῖς ΒΔ, ΑΛ· τοῦ δὲ ΖΒΓ τριγώνου διπλάσιον τὸ ΗΒ τετράγωνον· βάσιν τε γὰρ πάλιν τὴν αὐτὴν ἔχουσι τὴν ΖΒ καὶ ἐν ταῖς αὐταῖς εἰσι παραλλήλοις ταῖς ΖΒ, ΗΓ. {τὰ δὲ τῶν ἴσων διπλάσια ἴσα ἀλλήλοις ἐστίν·} ἴσον ἄρα ἐστὶ καὶ τὸ ΒΛ παραλληλόγραμμον τῷ ΗΒ τετραγώνῳ. ὁμοίως δὴ ἐπιζευγνυμένων τῶν ΑΕ, ΒΚ δειχθήσεται καὶ τὸ ΓΛ παραλληλόγραμμον ἴσον τῷ ΘΓ τετραγώνῳ· ὅλον ἄρα τὸ ΒΔΕΓ τετράγωνον δυσὶ τοῖς ΗΒ, ΘΓ τετραγώνοις ἴσον ἐστίν. καί ἐστι τὸ μὲν ΒΔΕΓ τετράγωνον ἀπὸ τῆς ΒΓ ἀναγραφέν, τὰ δὲ ΗΒ, ΘΓ ἀπὸ τῶν ΒΑ, ΑΓ. τὸ ἄρα ἀπὸ τῆς ΒΓ πλευρᾶς τετράγωνον ἴσον ἐστὶ τοῖς ἀπὸ τῶν ΒΑ, ΑΓ πλευρῶν τετραγώνοις. ἐν ἄρα τοῖς ὀρθογωνίοις τριγώνοις τὸ ἀπὸ τῆς τὴν ὀρθὴν γωνίαν ὑποτεινούσης πλευρᾶς τετράγωνον ἴσον ἐστὶ τοῖς ἀπὸ τῶν τὴν ὀρθὴν {γωνίαν} περιεχουσῶν πλευρῶν τετραγώνοις· ὅπερ ἔδει δεῖξαι”.